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  3. 求曲面积分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

求曲面积分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．

admin2016-10-26  50
问题 求曲面积分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．
选项
答案I=[*]xdydz+ydzdx+zdxdy+[*]cosydydz+coszdzdx+cosxdxdy[*]I1+I2． 平面S的单位法向量N=(cosα，cosβ，cosγ)=[*](1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得 [*] 下面求I2． 投影到xy平面上化为二重积分．S的投影区域为Dxy，如图9．25，则有 [*] I2=[*][cosy.(一z′x)+cos(π一(x+y)).(一z′y)+cosx]dxdy =[*]cos(x+y)dxdy， 其中由z=π一(x+y)得z′x=－1，z′y=－1．由于Dxy关于y=x对称，则有 [*] 因此I2=2×2－(－2)=6． 因此 I=I1+I2=[*]+6．
解析
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考研数学一

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