设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )

admin2019-05-12 52

问题设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则( )

选项 A、X与Y一定独立．
B、(X，Y)服从二维正态分布．
C、X与Y未必独立．
D、X+Y服从一维正态分布．

答案C

解析本题考查正态分布的性质以及二维正态分布与一维正态分布之间的关系．只有(X，Y)服从二维正态分布时，不相关与独立才是等价的．即使X与Y都服从正态分布，甚至X与Y不相关也并不能推出(X，Y)服从二维正态分布．例如(X，Y)的联合密度为

不难验证X与y都服从正态分布N(0，1)，且相关系数ρ_XY=0，而(X，Y)不服从二维正态分布，X与Y也不相互独立．
本题仅仅已知X与Y服从正态分布，因此，由它们不相关推不出X与Y一定独立，排除A；
若X与Y都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但题设并不知道X，Y是否独立，可排除B；
同样要求X与Y相互独立时，才能推出X+Y服从一维正态分布，可排除D．故正确选项为C．

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