2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．

admin2018-05-21  25
问题 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2－4E的特征值为0，5，32．求A－1的特征值并判断A－1是否可对角化．
选项
答案设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2－4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6． 又因为|A*|=36=|A|3－1，所以|A|=6． 由|A|／λ1=2，|A|／λ2=3，|A|／λ3=6，得λ1=3，λ2=2，λ3=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A－1的特征值为1，1／2，1／3． 因为A－1的特征值都是单值，所以A－1可以相似对角化．
解析
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考研数学一

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