[2005年] 设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．[img][/img]

admin2019-04-08 39

问题 [2005年] 设D={(x，y)｜x²+y²≤

，x≥0，y≥0}，[1+x²+y²]表示不超过1+x²+y²的最大整数，计算二重积分

xy[1+x²+y²]dxdy．[img][/img]

选项

答案因被积函数需分区域表示，其二重积分需分块计算．在D上xy[1+x²+y²]=[*] 将积分区域分成两块D=D₁∪D₂，其中 D₁={(x，y)｜x²+y²＜1，x≥0，y≥0}，D₂={(x，y)｜1≤x²+y²≤[*]，x≥0，y≥0}，则 [*] 考虑到D₁为部分圆域，D₂为环形域，作极坐标变换，有 D₁={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，0≤r≤1}，D₂={(r，θ)｜0≤θ≤π／2，1≤r≤2^1/4}．故[*]

解析

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考研数学一

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