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在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?
在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?
admin
2020-03-05
30
问题
在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x
2
+y
2
,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?
选项
答案
用拉格朗日乘子法.令 F(x,y,z,λ,μ)=x
2
+y
2
+z
2
+(x
2
+y
2
-z)+μ(x+y+z-1), 解方程组 [*] 由前三个方程得x=y,代入后两个方程得[*]解得x=y=[*].记 M
1
[*],可算得 g(M
1
)=9-5[*]. 从实际问题看,函数g的条件最大与最小值均存在,所以g在点M
1
,M
2
分别达到最小值和最大值,因而函数f在点M
1
,M
2
分别达到最大值和最小值,即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M
1
处最大,在点M
2
处最小.
解析
当负点电荷在点(x,y,z)处时,两电荷间的引力大小为f(x,y,z)=
.负点电荷又在椭圆上,于是问题化为求函数f(x,y,z)在条件x
2
+y
2
-z=0,x+y+z-1=0下的最大值和最小值.
为简单起见,考虑函数g(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
,f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍数).于是问题又化为求函数g(x,y,z)=x
2
+y
2
+z
2
在条件x
2
+y
2
-z=0,x+y+z-1=0条件下的最大值和最小值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/AMS4777K
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考研数学一
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