在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?

admin2020-03-05  27

问题 在空间坐标系的原点处,有一单位正电荷,设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2,x+y+z=1上移动,问两电荷间的引力何时最大,何时最小?

选项

答案用拉格朗日乘子法.令 F(x,y,z,λ,μ)=x2+y2+z2+(x2+y2-z)+μ(x+y+z-1), 解方程组 [*] 由前三个方程得x=y,代入后两个方程得[*]解得x=y=[*].记 M1[*],可算得 g(M1)=9-5[*]. 从实际问题看,函数g的条件最大与最小值均存在,所以g在点M1,M2分别达到最小值和最大值,因而函数f在点M1,M2分别达到最大值和最小值,即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大,在点M2处最小.

解析 当负点电荷在点(x,y,z)处时,两电荷间的引力大小为f(x,y,z)=.负点电荷又在椭圆上,于是问题化为求函数f(x,y,z)在条件x2+y2-z=0,x+y+z-1=0下的最大值和最小值.
为简单起见,考虑函数g(x,y,z)=x2+y2+z2,f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍数).于是问题又化为求函数g(x,y,z)=x2+y2+z2在条件x2+y2-z=0,x+y+z-1=0条件下的最大值和最小值.
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