求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率k=，其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向．

admin2021-08-05 52

问题求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率k=

，其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向．

选项

答案由曲率计算公式及曲线为凹知，k=[*] 因为α为曲线在相应点处的切线的倾斜角，所以 [*] 于是由条件[*]推知， [*] 整理得微分方程2y²y”=[1+(y’)²]²．此为缺x的可降阶二阶方程．令[*]，代入上述微分方程，化简为 [*] 分离变量得 [*] 解得y=(p²+1)+y(p²+1)C₁．由于曲线在点(1，1)处切线水平，故y(1)=1，y’(1)=0．于是有 1=1+C₁，C₁=0．故得y=p²+1，即[*]由于曲线是凹的，y=1不是解，再将[*]分离变量后积分得 [*] 由y(1)=1，所以C₂=一1，得[*]化简得 4(y—1)=(x—1)².

解析

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考研数学二

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求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率k=，其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角，且该曲线在点(1，1)处的切线为水平方向．

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