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求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率k=,其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角,且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率k=,其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角,且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
admin
2021-08-05
77
问题
求一条凹曲线,已知其上任意一点处的曲率k=
,其中α为该曲线在相应点处的切线的倾斜角,且该曲线在点(1,1)处的切线为水平方向.
选项
答案
由曲率计算公式及曲线为凹知,k=[*] 因为α为曲线在相应点处的切线的倾斜角,所以 [*] 于是由条件[*]推知, [*] 整理得微分方程2y
2
y”=[1+(y’)
2
]
2
. 此为缺x的可降阶二阶方程.令[*],代入上述微分方程,化简为 [*] 分离变量得 [*] 解得y=(p
2
+1)+y(p
2
+1)C
1
.由于曲线在点(1,1)处切线水平,故y(1)=1,y’(1)=0.于是有 1=1+C
1
,C
1
=0.故得y=p
2
+1,即[*]由于曲线是凹的,y=1不是解,再将[*]分离变量后积分得 [*] 由y(1)=1,所以C
2
=一1,得[*]化简得 4(y—1)=(x—1)
2
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/APy4777K
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考研数学二
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