设二次型f(x1,x2,x3)=2x1+ax22+2x32+2x1x2—2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22。 求a,b的值;

admin2017-02-13  30

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2x1+ax22+2x32+2x1x2—2bx1x3+2x2x3经过正交变换化为3y12+3y22
求a,b的值;

选项

答案令A=[*],则f(x1,x2,x3)=xTAX,因为二次型经过正交变换化为了3y12+3y22。所以矩阵A的三个特征值分别为λ1=3,λ2=3,λ3=0,根据矩阵特征值的和是矩阵的迹(对角元素的和),特征值的乘积是矩阵行列式的值,即有 λ123=4+a=6,得a=2, λ1λ2λ3=|A|=-2(b+2)(b一1)=0,得b=一2或b=1。因为当b=一2时,A=[*],因为|3E—A|=[*]=-9≠0,所以a=2,b=1。

解析
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