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  3. 设齐次方程组(I) 有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ) 的通解．

设齐次方程组(I) 有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T． 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ) 的通解．

admin2017-11-13  48
问题 设齐次方程组(I)

有一个基础解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T．
证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)

的通解．
选项
答案分别记A和B为(I)和(Ⅱ)的系数矩阵． (I)的未知量有2n个，它的基础解系含有n个解，则r(A)=n，即A的行向量组α1，α2，…，αn线性无关． 由于β1，…，βn都是(I)的解，有ABT=(Aβ1，Aβ2，…，Aβn)=0，转置得BAT=0，即BαiT=0，i=1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n个线性无关的解．又因为r(B)=n，(Ⅱ)也有2n个未知量，2n—r(B)=n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一个基础解系．从而(Ⅱ)的通解为 c1α1+c2α2+…+cnαn，c1，c2，…，cn可取任意数．
解析
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考研数学一

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