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设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)＞0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki＞0（i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1,证明： f(k1x1+k2x2+k3x3+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+k3f(x
设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)＞0,取xi∈[a,b](i=1,2,…,n)及ki＞0（i=1,2,…,n)且满足k1+k2+…+kn=1,证明： f(k1x1+k2x2+k3x3+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+k3f(x
admin
2021-11-25
41
问题
设f(x)在[a,b]上二阶可导，且f"(x)＞0,取x
i
∈[a,b](i=1,2,…,n)及k
i
＞0（i=1,2,…,n)且满足k
1
+k
2
+…+k
n
=1,证明：
f(k
1
x
1
+k
2
x
2
+k
3
x
3
+…+k
n
x
n
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+k
3
f(x
3
)+...+k
n
f(x
n
).
选项
答案
令x
0
=k
1
x
1
+k
2
x
2
+…+k
n
x
n
,显然x
0
∈[a,b]. 因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x
0
)+f’(x
0
)(x－x
0
) 分别取x=x
i
(i=1,2,…n)得 [*] 将上述各式分别相加，得到f(x
0
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+...+k
n
f(x
n
),即 f(k
1
x
1
+k
2
x
2
+k
3
x
3
+…+k
n
x
n
)≤k
1
f(x
1
)+k
2
f(x
2
)+k
3
f(x
3
)+...+k
n
f(x
n
).
解析
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0
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