设a是整数,若矩阵A=的伴随矩阵A*的特征值是4,-14,-14.求正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

admin2022-06-30  26

问题 设a是整数,若矩阵A=的伴随矩阵A*的特征值是4,-14,-14.求正交矩阵Q,使QTAQ为对角矩阵.

选项

答案|A*|=4×(-14)×(-14)=282,由|A*|=|A|2得|A|=28或|A|=-28. |A|=[*]=-6a-40. 若-6a-40=28,则a=-34/3,不合题意,舍去; 若-6a-40=-28,则a=-2,从而A=[*]. A的特征值为λ1=[*]=-7,λ2=[*]=λ3=[*]=2. λ1=-7代入(λE-A)X=0, 由-7E-A=[*]得 λ1=-7对应的线性无关的特征向量为a1=[*]; λ23=2代入(λE-A)X=0, 由2E-A=[*]得 λ23=2对应的线性无关的特征向量为a2=[*],a3=[*] 令β1=a1=[*],β2=a2=[*],β3=a3=[*], 单位化得γ1=[*],γ2=[*],γ3=[*], 所求的正交矩阵为Q=[*],且QTAQ=[*]

解析
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