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设向量组I:α1,α2……αr可由向量组Ⅱ:β1β2……βs线性表示,则( )
设向量组I:α1,α2……αr可由向量组Ⅱ:β1β2……βs线性表示,则( )
admin
2020-03-01
58
问题
设向量组I:α
1
,α
2
……α
r
可由向量组Ⅱ:β
1
β
2
……β
s
线性表示,则( )
选项
A、当r<s时,向量组Ⅱ必线性相关.
B、当r>s时,向量组Ⅱ必线性相关.
C、当r<s时,向量组I必线性相关.
D、当r>s时,向量组I必线性相关.
答案
D
解析
本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系.要求考生掌握若向量组A能由向量组B线性表示,则r(A)≤r(B);向量组α
1
,α
2
……α
r
,线性相关
r(α
1
,α
2
……α
r
)<r.向量组I的秩记为r(I),Ⅱ的秩记为r(Ⅱ).
由于向量组I可由向量组Ⅱ线性表示,所以r(I)≤r(Ⅱ)≤s,若r>s,则有r(I)≤s<r,故此时向量组I必线性相关.故应选D.
也可用下述方法否定A、B、C.令向量组I、Ⅱ分别为I:(1,0,0),(0,1,0).
Ⅱ:(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).显然,向量组I可由向量组Ⅱ线性表示,且此时r=2<s=3,但向量组I、Ⅱ均线性无关,故排除选项A、C.令向量组I、Ⅱ分别为I:(1,0,0),(2,0,0).Ⅱ:(1,0,0).显然,向量组I可由向量组Ⅱ线性表示,且此时r=2>s=1,但向量组Ⅱ线性无关,故排除选项B.
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