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  3. 设向量组I：α1,α2……αr可由向量组Ⅱ：β1β2……βs线性表示，则( )

设向量组I：α1,α2……αr可由向量组Ⅱ：β1β2……βs线性表示，则( )

admin2020-03-01  49
问题 设向量组I：α1,α2……αr可由向量组Ⅱ：β1β2……βs线性表示，则(    )
选项 A、当r＜s时，向量组Ⅱ必线性相关．
B、当r＞s时，向量组Ⅱ必线性相关．
C、当r＜s时，向量组I必线性相关．
D、当r＞s时，向量组I必线性相关．
答案D
解析 本题考查一组向量能由另一组向量线性表示与它们秩的关系．要求考生掌握若向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤r(B)；向量组α1,α2……αr，线性相关r(α1,α2……αr)＜r．向量组I的秩记为r(I)，Ⅱ的秩记为r(Ⅱ)．
由于向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，所以r(I)≤r(Ⅱ)≤s，若r＞s，则有r(I)≤s＜r，故此时向量组I必线性相关．故应选D．
也可用下述方法否定A、B、C．令向量组I、Ⅱ分别为I：(1，0，0)，(0，1，0)．
Ⅱ：(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)．显然，向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＜s=3，但向量组I、Ⅱ均线性无关，故排除选项A、C．令向量组I、Ⅱ分别为I：(1，0，0)，(2，0，0)．Ⅱ：(1，0，0)．显然，向量组I可由向量组Ⅱ线性表示，且此时r=2＞s=1，但向量组Ⅱ线性无关，故排除选项B．
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考研数学二

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