已知y1=xe+e2x，y2=xex-e-x，y3=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为______．

admin2020-03-08 51

问题已知y₁=xe+e^2x，y₂=xe^x-e^-x，y₃=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解，则该方程的通解为______．

选项

答案y=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x

解析由解的结构定理可得y₁-y₂=e^-x，y₃-y₂=e^2x是对应齐次微分方程的两个解，而e^-x与e^2x线性无关，于是该方程对应的齐次线性微分方程的通解为
Y=

e^2x+C₂e^-x(

，C₂为任意常数)．
从而原方程的通解为
y=y₁+y=xe^x+e^2x+

e^2x+C₂e^-x
=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x(C₁=1+

)．
故应填y=xe^x+C₁e^2x+C₂e^-x．

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考研数学一

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