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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,BT为B的转置矩阵.试证:BTAB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
admin
2019-04-08
53
问题
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n矩阵,B
T
为B的转置矩阵.试证:B
T
AB为正定矩阵的充分必要条件是秩(B)=n.
选项
答案
必要性. 用齐次方程组只有零解证之.因B
T
AB正定,由定义知,对任意X≠0,X
T
(B
T
AB)X=(BX)
T
A(BX)>0,故必有BX≠0,即BX=0只有零解,亦即秩(B)=n. 充分性. 用正定的定义证之.因(B
T
AB)
T
=B
T
A
T
B=B
T
AB,故B
T
AB为对称矩阵(正定矩阵必是实对称矩阵,所以充分性首先必证明这一点). 由秩(B)=n知,齐次线性方程组BX=0只有零解,于是对任意X
0
≠0,恒有BX
0
≠0,又因A是正定矩阵,所以对BX
0
≠0,必有(BX
0
)
T
A(BX
0
)>0.即对任意X
0
≠0,恒有X
0
T
(B
T
AB)X
0
>0,故B
T
AB是正定矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/sD04777K
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考研数学一
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