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设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫01f(x)dx=0,则( ).
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫01f(x)dx=0,则( ).
admin
2022-09-22
45
问题
设函数f(x)在[0,1]上二阶可导,且∫
0
1
f(x)dx=0,则( ).
选项
A、当f’(x)<0时,f(1/2)<0
B、当f”(x)<0时,f(1/2)<0
C、当f’(x)>0时,f(1/2)<0
D、当f”(x)>0时,f(1/2)<0
答案
D
解析
对于A项:取f(x)=-x+
,此时f’(x)=-1<0,但f(1/2)=0;
对于B、D项:取f(x)=a(x-
)
2
+b,由∫
0
1
f(x)dx=0,可得b=-a/12.
当f”(x)=2a<0时,f(1/2)=b>0;当f”(x)=2a>0时,f(1/2)=b<0;
对于C项:取f(x)=x-
,此时f’(x)=1>0,但f(1/2)=0.故D项正确.
提示:本题也可用泰勒公式展开求解.
对于A、C项,
可知,无论f’(x)>0,还是f’(x)<0,都有f(1/2)=0.排除A、C项.
对于B、D项,
可知,当f”(x)<0时,f(1/2)>0;当f”(x)>0时,f(1/2)<0,B项错误,D项正确.
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考研数学二
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