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  3. 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )．

设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则( )．

admin2022-09-22  22
问题 设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则(          )．
选项 A、当f’(x)＜0时，f(1／2)＜0
B、当f”(x)＜0时，f(1／2)＜0
C、当f’(x)＞0时，f(1／2)＜0
D、当f”(x)＞0时，f(1／2)＜0
答案D
解析 对于A项：取f(x)=-x+，此时f’(x)=-1＜0，但f(1／2)=0；
    对于B、D项：取f(x)=a(x-)2+b，由∫01f(x)dx=0，可得b=-a／12．
    当f”(x)=2a＜0时，f(1／2)=b＞0；当f”(x)=2a＞0时，f(1／2)=b＜0；
    对于C项：取f(x)=x-，此时f’(x)=1＞0，但f(1／2)=0．故D项正确．
    提示：本题也可用泰勒公式展开求解．
    对于A、C项，
   
    可知，无论f’(x)＞0，还是f’(x)＜0，都有f(1／2)=0．排除A、C项．
    对于B、D项，
   
    可知，当f”(x)＜0时，f(1／2)＞0；当f”(x)＞0时，f(1／2)＜0，B项错误，D项正确．
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考研数学二

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