2. 考研
  3. 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明： ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy

设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明： ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy

admin2017-10-23  111
问题 设y=f(x)在[0，+∞)上有连续的导数，f(x)的值域为[0，+∞)，且f’(x)＞0，f(0)=0．又x=φ(y)为y=f(x)的反函数，对于常数a＞0，b＞0，试证明：
    ∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy
选项
答案设g(a)=∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy—ab，则g’(a)=f(a)一b．令g’(a)=0，得b=f(a)，即a=φ(b)．当0＜a＜φ(b)时，由f’(x)＞0有f(a)＜f[φ(b)]=b，从而知g’(a)＜0；当0＜φ(b)＜a时有f[φ(6)]=b＜f(a)，从而知g’(a)＞0，所以g[φ(b)]为最小值，即 g[φ(b)]=∫0φ(b)f(x)dx+∫0bφ(y)dy一φ(b)b． 由于 (g[φ(b)])’=f[φ(b)]φ’(b)+φ(b)一φ(b)一φ’(b)b =bφ’(b)+φ(b)一φ(6)一φ’(b)b≡0， 又 g[φ(0)]=∫0φ(0)f(x)dx+∫00φ(Y)dy一φ(0)0=0(因φ(0)=0)， 所以g[φ(b)]≡0，从而有 g(a)=∫0af(x)dx+∫0bφ(y)dy—[*]
解析
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考研数学三

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