2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b．求证：存在ξ∈(a，b)，使 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中p＞0，q＞0为任意常数．

设f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b．求证：存在ξ∈(a，b)，使 pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中p＞0，q＞0为任意常数．

admin2018-06-14  59
问题 设f(x)在[a，b]上连续，且a＜c＜d＜b．求证：存在ξ∈(a，b)，使
    pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中p＞0，q＞0为任意常数．
选项
答案利用闭区间上连续函数的最大、小值定理与介值定理证明本题． [*] 由f(x)在[a，b]上连续，而[c，d][*][a，b]，可知f(x)在[c，d]上连续，于是存在m=[*] f(x)，从而 [*] 即η是f(x)在[c，d]上的值域[m，M]上的一个值． 由闭区间上连续函数的最大、小值及介值定理可知，必存在ξ∈[c，d][*](a，b)使f(ξ)=η，即 pf(c)+gf(d)=(p+q)f(ξ)成立．
解析
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考研数学三

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