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设由曲线与直线y=a(其中常数口满足0<a<1)以及x=0,x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a,求V(a)的最小值与最小值点.
设由曲线与直线y=a(其中常数口满足0<a<1)以及x=0,x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a,求V(a)的最小值与最小值点.
admin
2016-10-20
65
问题
设由曲线
与直线y=a(其中常数口满足0<a<1)以及x=0,x=1围成的平面图形(如右图的阴影部分)绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V(a,求V(a)的最小值与最小值点.
选项
答案
由曲线[*]与直线y=a(其中0<a<1)以及x=0,x=1围成的平面图形分为左、右两个部分区域,即(见图3.5(a)) [*] 在D
1
绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状是圆形薄片,其半径为[*],厚度为dy,从而这个圆形薄片的体积dV=π(1-y
2
)dy,于是区域D
1
绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 [*] 在D
2
绕y轴旋转一周所得旋转体中满足y→y+dy的一层形状为圆环形薄片,其内半径为[*]外半径为1,厚度为dy,从而这个圆环形薄片的体积为dV=π[1-(1-y
2
)]dy=πy
2
dy,故区域D
2
绕y轴旋转一周所得旋转体的体积 [*] 把V
1
(a)与V
2
(a)相加,就得到了 [*]
解析
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考研数学三
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