设f‘(x)＝1＋∫0x[6cos 2t－f(t)]dt，且f(0)＝1，计算I＝∫0x [f(x)/x+1)＋f’(x)ln(1＋x)]dx

admin2022-06-09 54

问题设f‘(x)＝1＋∫₀^x[6cos 2t－f(t)]dt，且f(0)＝1，计算I＝∫₀^x [f(x)/x+1)＋f’(x)ln(1＋x)]dx

选项

答案由已知等式，知f’’(x)＝－6cos 2x－f(x)，且f’(0)＝1，解微分方程 [*] 特征方程r²＋1＝0，即r＝±i 令特解f=acos 2x＋bsin 2x，代人原微分方程，得 (－4a＋a)cos 2x＋(－4b＋b)sin 2r＝－6cos 2r 解得a＝2，b＝0，故原微分方程的通解为 f(x)＝C₁1 cos x＋C₂ sinx＋2cos 2x 由f(0)＝1，f’(0)＝1，得C₁＝－1，C₂＝1，故f(x)＝－cos x＋sinx＋2cos 2x 于是 I＝∫₀^π[f(x)/x＋1 ＋f’(x)ln(1＋x)]dx ＝∫₀^π d[f(x)ln(1＋x)]＝f(x)ln(1＋x)｜₀^π＝3ln(1＋π)

解析

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