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设f‘(x)=1+∫0x[6cos 2t-f(t)]dt,且f(0)=1,计算I=∫0x [f(x)/x+1)+f’(x)ln(1+x)]dx
设f‘(x)=1+∫0x[6cos 2t-f(t)]dt,且f(0)=1,计算I=∫0x [f(x)/x+1)+f’(x)ln(1+x)]dx
admin
2022-06-09
75
问题
设f‘(x)=1+∫
0
x
[6cos 2t-f(t)]dt,且f(0)=1,计算I=∫
0
x
[f(x)/x+1)+f’(x)ln(1+x)]dx
选项
答案
由已知等式,知f’’(x)=-6cos 2x-f(x),且f’(0)=1,解微分方程 [*] 特征方程r
2
+1=0,即r=±i 令特解f=acos 2x+bsin 2x,代人原微分方程,得 (-4a+a)cos 2x+(-4b+b)sin 2r=-6cos 2r 解得a=2,b=0,故原微分方程的通解为 f(x)=C
1
1 cos x+C
2
sinx+2cos 2x 由f(0)=1,f’(0)=1,得C
1
=-1,C
2
=1,故f(x)=-cos x+sinx+2cos 2x 于是 I=∫
0
π
[f(x)/x+1 +f’(x)ln(1+x)]dx =∫
0
π
d[f(x)ln(1+x)]=f(x)ln(1+x)|
0
π
=3ln(1+π)
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/B2f4777K
0
考研数学二
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