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  3. (2002年试题，3)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

(2002年试题，3)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则( )．

admin2019-05-06  156
问题 (2002年试题，3)设函数y=f(x)在(0，+∞)内有界且可导，则(    )．
选项 A、时，必有
B、当存在时，必有
C、当时，必有
D、当存在时，必有
答案B
解析 由题设，可以对各选项通过举反例的方法来进行排除．关于A，令，由于且f(x)在(0，+∞)上有界且可导不存在，所以x→+∞时f’(x)的极限存在，因此A可排除掉．关于C，D，又令f2(x)=sinx，则f2(x)在(0，+∞)上有界，且可导，又即C，D的条件满足，但因此C，D皆不成立．对B，任取x>0，由拉格朗日中值定理，f(2x)一f(x)=f’(ξ).x，其中x<ξ<2x，当x→+∞时，ξ→+∞，由题设条件存在，记为f’(+∞)=A，且A有限，则在式f(2x)一f(x)=f’(ξ).x中令x→+∞得因f(x)有界，于是综上，选B．
(1)一般而言，涉及函数f(x)与其导函数f’(x)的关系时，可想到用拉格朗日中值定理或微积分基本公式进行讨论．
(2)运用拉格朗日中值定理可以证明：设f(x)在(0，+∞)可导，．若A>0，则；若A<0，则
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