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(2002年试题,3)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
(2002年试题,3)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
admin
2019-05-06
165
问题
(2002年试题,3)设函数y=f(x)在(0,+∞)内有界且可导,则( ).
选项
A、
时,必有
B、当
存在时,必有
C、当
时,必有
D、当
存在时,必有
答案
B
解析
由题设,可以对各选项通过举反例的方法来进行排除.关于A,令
,由于
且f(x)在(0,+∞)上有界且可导
不存在,所以x→+∞时f
’
(x)的极限存在,因此A可排除掉.关于C,D,又令f
2
(x)=sinx,则f
2
(x)在(0,+∞)上有界,且可导,又
即C,D的条件满足,但
因此C,D皆不成立.对B,任取x>0,由拉格朗日中值定理,f(2x)一f(x)=f
’
(ξ).x,其中x<ξ<2x,当x→+∞时,ξ→+∞,由题设条件
存在,记为f
’
(+∞)=A,且A有限,则
在式f(2x)一f(x)=f
’
(ξ).x中令x→+∞得
因f(x)有界,于是
综上,选B.
(1)一般而言,涉及函数f(x)与其导函数f
’
(x)的关系时,可想到用拉格朗日中值定理或微积分基本公式
进行讨论.
(2)运用拉格朗日中值定理可以证明:设f(x)在(0,+∞)可导,
.若A>0,则;若A<0,则
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