设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f"(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x－1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F"(ξ)=0．

admin2021-08-14 17

问题设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f"(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x－1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F"(ξ)=0．

选项

答案设G(x)=F(x)－(x－2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在[1，2]内可导，而G(1)=f(1),G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2). 由罗尔定理知在在[1，2]内至少有一点ξ₁使G’(ξ₁)=0，即F’(ξ₁)=f(1). 又由F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)知F’(1)=f(1). 显然F’(x)=f(x)+(x-1)f’(x)在[1,ξ₁]上满足罗尔定理条件. 于是在[1,ξ₁]内至少有一点ξ使f"(ξ)=0. 即在(1,2)内至少有一点ξ使F"(ξ)=0.

解析

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