(2015年)设矩阵A=，且A3=O． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E，其中E为3阶单位矩阵．求X．

admin2018-07-30 102

问题 (2015年)设矩阵A=

，且A³=O．
(Ⅰ)求a的值；
(Ⅱ)若矩阵X满足X-XA²-AX+AXA²=E，其中E为3阶单位矩阵．求X．

选项

答案(Ⅰ)由A³=O两端取行列式，得｜A｜³=0，从而得｜A｜=0，而｜A｜=a³．所以a=0． (Ⅱ)方法1：由已知的X-XA²-AX+AXA²=E，得 X(E-A²)-AX(E-A²)=E 即 (E-A)X(E-A²)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E-A，E-A²均可逆，所以 X=(E-A)^-1(E-A²)^-1 [*] 方法2：同解1一样可得 (E-A)X(E-A²)=E 所以 X=(E-A)^-1(E-A²)^-1=[(E-A²)(E-A)]^-1 =[E-A-A²+A³]^-1=[E-A-A²]^-1 由(Ⅰ)知 E-A-A²=[*] 所以 X=(E-A-A²)^-1=[*]

解析

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