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(2015年)设矩阵A=,且A3=O. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵.求X.
(2015年)设矩阵A=,且A3=O. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵.求X.
admin
2018-07-30
97
问题
(2015年)设矩阵A=
,且A
3
=O.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若矩阵X满足X-XA
2
-AX+AXA
2
=E,其中E为3阶单位矩阵.求X.
选项
答案
(Ⅰ)由A
3
=O两端取行列式,得|A|
3
=0,从而得|A|=0,而|A|=a
3
.所以a=0. (Ⅱ)方法1:由已知的X-XA
2
-AX+AXA
2
=E,得 X(E-A
2
)-AX(E-A
2
)=E 即 (E-A)X(E-A
2
)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E-A,E-A
2
均可逆,所以 X=(E-A)
-1
(E-A
2
)
-1
[*] 方法2:同解1一样可得 (E-A)X(E-A
2
)=E 所以 X=(E-A)
-1
(E-A
2
)
-1
=[(E-A
2
)(E-A)]
-1
=[E-A-A
2
+A
3
]
-1
=[E-A-A
2
]
-1
由(Ⅰ)知 E-A-A
2
=[*] 所以 X=(E-A-A
2
)
-1
=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/B9j4777K
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考研数学二
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