(2015年)设矩阵A=,且A3=O. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵.求X.

admin2018-07-30  75

问题 (2015年)设矩阵A=,且A3=O.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若矩阵X满足X-XA2-AX+AXA2=E,其中E为3阶单位矩阵.求X.

选项

答案(Ⅰ)由A3=O两端取行列式,得|A|3=0,从而得|A|=0,而|A|=a3.所以a=0. (Ⅱ)方法1:由已知的X-XA2-AX+AXA2=E,得 X(E-A2)-AX(E-A2)=E 即 (E-A)X(E-A2)=E 由(Ⅰ)知 [*] 由于E-A,E-A2均可逆,所以 X=(E-A)-1(E-A2)-1 [*] 方法2:同解1一样可得 (E-A)X(E-A2)=E 所以 X=(E-A)-1(E-A2)-1=[(E-A2)(E-A)]-1 =[E-A-A2+A3]-1=[E-A-A2]-1 由(Ⅰ)知 E-A-A2=[*] 所以 X=(E-A-A2)-1=[*]

解析
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