2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．

admin2015-04-02  62
问题 已知函数f(x)在区间[a，＋∞)上具有2阶导数，f(a)＝0，(x)＞0，(x)＞0，设b＞a，曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线与x轴的交点是(x0，0)，证明a＜x0＜b．
选项
答案曲线y＝f(x)在点(b，f(b))处的切线方程是y－f(b)＝[*](b)(x一b)，解得切线与x轴交点的横坐标 x0＝b[*] 由于[*](x)＞0，故f(x)单调增加，由b＞a可知f(b)＞f (a)=0． 又[*](b)＞0，故[*]＞0即有x0＜b． x0－a＝b－[*] 由拉格朗日中值定理得f(b)＝f(b)－f(a)＝[*](ξ)(b—a)，a＜ξ＜b． 因为[*](x)＞0，所以[*](x)单调增加，从而[*](ξ)＜[*](b)，故f(b)＜(b—a)[*](b)． 由此可知x0－a＞0，即x0＞a． 综上，a＜x0＜b．
解析
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考研数学二

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