已知A、B、C是椭圆上的三个点，O是坐标原点。 (1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

admin2015-08-13 72

问题已知A、B、C是椭圆

上的三个点，O是坐标原点。
(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；
(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

选项

答案(1)椭圆[*]的右顶点B的坐标为(2，0)。因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分。所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得[*]。所以菱形OABC的面积[*] (2)假设四边形OABC为菱形，因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0，m≠0)。由[*]消去y并整理得(1+4k²)x²+8kmx+4m²-4=0。设A(x₁，y₂)，C(x₂，y₂)，则[*] 所以AC的中点为M[*] 因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为[*] 因为[*]，所以AC与OB不垂直。所以OABC不是菱形，与假设矛盾。所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形。

解析

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已知A、B、C是椭圆上的三个点，O是坐标原点。 (1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由。

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