已知A、B、C是椭圆上的三个点,O是坐标原点。 (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

admin2015-08-13  38

问题 已知A、B、C是椭圆上的三个点,O是坐标原点。
    (1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
    (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由。

选项

答案(1)椭圆[*]的右顶点B的坐标为(2,0)。因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分。所以可设A(1,m),代入椭圆方程得[*]。所以菱形OABC的面积[*] (2)假设四边形OABC为菱形,因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0)。 由[*]消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0。 设A(x1,y2),C(x2,y2),则[*] 所以AC的中点为M[*] 因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为[*] 因为[*],所以AC与OB不垂直。所以OABC不是菱形,与假设矛盾。 所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形。

解析
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