证明:∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx.

admin2016-09-13  19

问题 证明:∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx.

选项

答案本题看似是二重积分问题,事实上,用代换t=xy可将累次积分化为定积分. 在∫01(xy)xydy中,视x为常数,令t=xy,dt=xdy,当y从0变到1时,t从0变到x,则 ∫01(xy)xydy=∫0xtt[*]∫0xttdt, 从而 ∫01dx∫01(xy)xydy=∫01[*]dx∫0xttdt=∫01ttdt∫t1[*]dx=-∫01ttlntdt. 于是也就是要证明 -∫01ttlntdt=∫01ttdt, 移项后就是要证明 ∫01tt(1+lnt)dt=0. 事实上, tt(1+lnt)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt), 故 ∫01tt(1+lnt)dt=etlnt01=0.

解析
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