证明：∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx．

admin2016-09-13 34

问题证明：∫₀¹dx∫₀¹(xy)^xy=∫₀¹x^xdx．

选项

答案本题看似是二重积分问题，事实上，用代换t=xy可将累次积分化为定积分．在∫₀¹(xy)^xydy中，视x为常数，令t=xy，dt=xdy，当y从0变到1时，t从0变到x，则 ∫₀¹(xy)^xydy=∫₀^xt^t[*]∫₀^xt^tdt，从而 ∫₀¹dx∫₀¹(xy)^xydy=∫₀¹[*]dx∫₀^xt^tdt=∫₀¹t^tdt∫_t¹[*]dx=－∫₀¹t^tlntdt．于是也就是要证明－∫₀¹t^tlntdt=∫₀¹t^tdt，移项后就是要证明 ∫₀¹t^t(1+lnt)dt=0．事实上， t^t(1+lnt)dt=e^tlnt(1+lnt)dt=e^tlntd(tlnt)=d(e^tlnt)，故 ∫₀¹t^t(1+lnt)dt=e^tlnt｜₀¹=0．

解析

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考研数学三

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