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考研
证明:∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx.
证明:∫01dx∫01(xy)xy=∫01xxdx.
admin
2016-09-13
40
问题
证明:∫
0
1
dx∫
0
1
(xy)
xy
=∫
0
1
x
x
dx.
选项
答案
本题看似是二重积分问题,事实上,用代换t=xy可将累次积分化为定积分. 在∫
0
1
(xy)
xy
dy中,视x为常数,令t=xy,dt=xdy,当y从0变到1时,t从0变到x,则 ∫
0
1
(xy)
xy
dy=∫
0
x
t
t
[*]∫
0
x
t
t
dt, 从而 ∫
0
1
dx∫
0
1
(xy)
xy
dy=∫
0
1
[*]dx∫
0
x
t
t
dt=∫
0
1
t
t
dt∫
t
1
[*]dx=-∫
0
1
t
t
lntdt. 于是也就是要证明 -∫
0
1
t
t
lntdt=∫
0
1
t
t
dt, 移项后就是要证明 ∫
0
1
t
t
(1+lnt)dt=0. 事实上, t
t
(1+lnt)dt=e
tlnt
(1+lnt)dt=e
tlnt
d(tlnt)=d(e
tlnt
), 故 ∫
0
1
t
t
(1+lnt)dt=e
tlnt
|
0
1
=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BCT4777K
0
考研数学三
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