由方程2y3一2y2+2xy+y—x2=0确定的函数y=y(x) ( )

admin2020-06-20  46

问题 由方程2y3一2y2+2xy+y—x2=0确定的函数y=y(x)    (    )

选项 A、没有驻点.
B、有驻点但不是极值点.
C、有驻点且为极小值点.
D、有驻点且为极大值点.

答案C

解析 将所给方程两边对x求导数,y看成由此式确定的x的函数,则有
    6y2y’一4yy’+2y+2xy’+y’一2x=0,
    (6y2一4y+2x+1)y’+2(y—x)=0.
  先考虑驻点,令y’=0,得y=x.再与原方程联立:
   
    得2x3一2x2+2x2+x—x2=0,即x(2x2一x+1)=0.
    由于2x2一x+1=0无实根,故得唯一实根x=0,相应地有y=0.在此点有y’=0.故不选A.
    再看此点是否为极值点,求二阶导数.由

    将x=0,y=0,y’=0代入,得y"(0)=2>0,所以该驻点为极小值点.选C.
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