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求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
求二元函数z=f(x,y)=x2y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
admin
2017-01-14
33
问题
求二元函数z=f(x,y)=x
2
y(4-x-y)在直线x+y=6,x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。
选项
答案
先求在D内的驻点,即令 [*] 因此在D内只有驻点(2,1)相应的函数值为f(2,1)=4。 再求f(x,y)在D边界上的最值: (1)在x轴上y=0,所以f(x,0)=0。 (2)在y轴上x=0,所以f(0,y)=0。 (3)在x+y=6上,将y=6-x代入f(x,y)中,得 f(x,y)=2x
2
(x-6)=g(x), 则由g’(x)=6x
2
-24x=0,得x=0(舍),x=4,此时y=2。相应的函数值f(4,2)=-64。 综上所述,最大值为f(2,1)=4,最小值为f(4,2)=-64。
解析
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考研数学一
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