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设f(x)连续且=2,φ(x)=f(xt)dt,求φ′(x)并讨论φ′(x)的连续性.
设f(x)连续且=2,φ(x)=f(xt)dt,求φ′(x)并讨论φ′(x)的连续性.
admin
2020-03-05
18
问题
设f(x)连续且
=2,φ(x)=
f(xt)dt,求φ′(x)并讨论φ′(x)的连续性.
选项
答案
φ(x)的表达式中,积分号内含参变量x,通过变量替换转化成变限积分. x≠0时,φ(x)=[*]f(0)dt=f(0). 由f(x)在x=0连续及[*]=2×0=0. 因此 [*] 求φ′(x)即求这个分段函数的导数,x≠0时与变限积分求导有关,x=0时可按定义求导. [*] 因此, [*] 最后考察φ′(x)的连续性.显然,x≠0时φ′(x)连续,又 [*] 即φ′(x)在x=0也连续,因此φ′(x)处处连续.
解析
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考研数学一
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