设f(x)连续且=2，φ(x)=f(xt)dt，求φ′(x)并讨论φ′(x)的连续性．

admin2020-03-05 19

问题设f(x)连续且

=2，φ(x)=

f(xt)dt，求φ′(x)并讨论φ′(x)的连续性．

选项

答案φ(x)的表达式中，积分号内含参变量x，通过变量替换转化成变限积分． x≠0时，φ(x)=[*]f(0)dt=f(0)．由f(x)在x=0连续及[*]=2×0=0．因此 [*] 求φ′(x)即求这个分段函数的导数，x≠0时与变限积分求导有关，x=0时可按定义求导． [*] 因此， [*] 最后考察φ′(x)的连续性．显然，x≠0时φ′(x)连续，又 [*] 即φ′(x)在x=0也连续，因此φ′(x)处处连续．

解析

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