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  3. 计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．

计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．

admin2019-02-26  22
问题 计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．
选项
答案Ω是两个球体x2+y2+z2≤4与x2+y2+z2≤4z(x2+y2+(z－2)2≤4)的公共部分，两球面的交线是 [*] 图9．32是Ω在yz平面上的截面图． [*] 这里适宜用球坐标变换的情形．这时要用锥面z=[*](以原点为顶点，通过两球的交线) 将Ω分成Ω=Ω1∪Ω2，其中 Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，z≥[*]}， Ω2={x，y，z)x2+y2+z2≤4z，z≤[*]}， 见截面图9．33，用球坐标表示 Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤[*]，0≤θ≤2π， Ω2：0≤ρ≤4cosφ，[*]，0≤θ≤2π， 其中球面x2+y2+z2=4z的球坐标方程是ρ=4cosφ，锥面z=[*]的方程是φ=[*]． 因此 [*]
解析
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考研数学一

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