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  3. 求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x—y+2z=0的切平面方程．

求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x—y+2z=0的切平面方程．

admin2016-11-03  53
问题 求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x—y+2z=0的切平面方程．
选项
答案令F(x，y，z)=x2+2y2+z2一22，则F′x=2x，F′y=4y，F′z=2z． 设所求切平面与椭球面切于点(x0，y0，z0)，则此切平面的法矢量为 n={2x0，4y0，2z0}． 此切平面与平面x—y+2z=0平行，故 [*] ① 由于点(x0，y0，z0)在椭球面上，故 [*]=22． ② 由式①、式②即得所求切点为(一2，1，一4)及(2，一1，4)．将此两点的坐标代入切平面方程： x0(x—x0)+2y0(y—y0)+z0(z—z0)=0， 即得所求的切平面方程为 一2(x+2)+2(y一1)一4(z+4)=0 与 2(x一2)一2(y+1)+4(z一4)=0； 或化简为 x—y+2z+11=0 与 x—y+2z一11=0．
解析 设出切点坐标(x0，y0，z0)，求出切平面的法矢量，找出(x0，y0，z0)所满足的条件求出x0，y0，z0，即可写出切平面方程．
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考研数学一

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