求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x—y+2z=0的切平面方程.

admin2016-11-03  30

问题 求椭球面x2+2y2+z2=22上平行于平面x—y+2z=0的切平面方程.

选项

答案令F(x,y,z)=x2+2y2+z2一22,则F′x=2x,F′y=4y,F′z=2z. 设所求切平面与椭球面切于点(x0,y0,z0),则此切平面的法矢量为 n={2x0,4y0,2z0}. 此切平面与平面x—y+2z=0平行,故 [*] ① 由于点(x0,y0,z0)在椭球面上,故 [*]=22. ② 由式①、式②即得所求切点为(一2,1,一4)及(2,一1,4).将此两点的坐标代入切平面方程: x0(x—x0)+2y0(y—y0)+z0(z—z0)=0, 即得所求的切平面方程为 一2(x+2)+2(y一1)一4(z+4)=0 与 2(x一2)一2(y+1)+4(z一4)=0; 或化简为 x—y+2z+11=0 与 x—y+2z一11=0.

解析 设出切点坐标(x0,y0,z0),求出切平面的法矢量,找出(x0,y0,z0)所满足的条件求出x0,y0,z0,即可写出切平面方程.
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