证明下列函数 (C1,C2为任意常数) 是方程xy"+2y’－xy=ex的通解。

admin2022-10-13 55

问题证明下列函数

(C₁,C₂为任意常数)
是方程xy"+2y’－xy=e^x的通解。

选项

答案[*] y’₁=x^-1e^x－x^-2e^x y"₁=x^-1e^x－2x^-2e^x+2x^-3e^x y’₂=e^-x(－x^-1－x^-2) y"₂=e^-x(x^-1+2x^-2+2x^-3) 代入后y₁，y₂满足xy"+2y’－xy=0且[*]不为常数，故C₁y₁+C₂y₂是齐次方程的通解。而y"=y^·”=[*]e^x,有 xy^·”+2y^*’－xy^*=[*](x+2－x)=e^x 即y^*=[*]是非齐次方程的特解，从而由线性微分方程解的结构定理知 [*] 是非齐次线性方程的通解。

解析

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