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证明下列函数 (C1,C2为任意常数) 是方程xy"+2y’-xy=ex的通解。
证明下列函数 (C1,C2为任意常数) 是方程xy"+2y’-xy=ex的通解。
admin
2022-10-13
60
问题
证明下列函数
(C
1
,C
2
为任意常数)
是方程xy"+2y’-xy=e
x
的通解。
选项
答案
[*] y’
1
=x
-1
e
x
-x
-2
e
x
y"
1
=x
-1
e
x
-2x
-2
e
x
+2x
-3
e
x
y’
2
=e
-x
(-x
-1
-x
-2
) y"
2
=e
-x
(x
-1
+2x
-2
+2x
-3
) 代入后y
1
,y
2
满足xy"+2y’-xy=0且[*]不为常数,故C
1
y
1
+C
2
y
2
是齐次方程的通解。 而y"=y
·
”=[*]e
x
,有 xy
·
”+2y
*
’-xy
*
=[*](x+2-x)=e
x
即y
*
=[*]是非齐次方程的特解,从而由线性微分方程解的结构定理知 [*] 是非齐次线性方程的通解。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BbC4777K
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考研数学三
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