设z=z(x,y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数. 在约束条件x+2y=1下,该函数是否还有极值?如有,求出极值点;如不存在,说明理由.

admin2023-03-22  24

问题 设z=z(x,y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数.
在约束条件x+2y=1下,该函数是否还有极值?如有,求出极值点;如不存在,说明理由.

选项

答案由已知得x=1-2y,代入方程z+x2+2y2+z3=1有 z+(1-2y)2+2y2+z3=1, 两边对y求偏导,得 z’y+2(1-2y)(-2)+4y+3z2·z’y=0, 令z’y=0得y0=1/3,再代入x=1-2y得x0=1-2y0=1/3,所求点为(1/3,1/3).记z0=z(1/3,1/3),再由 z”yy+12+6z·(z’y)2+3z2·z”yy=0, 得z”yy(1/3,1/3)=[*]<0,所以此时有极大值z极大=z(1/3,1/3).

解析
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