设z=z(x，y)是由方程z+x2+2y2+z3=1所确定的二元函数．在约束条件x+2y=1下，该函数是否还有极值?如有，求出极值点；如不存在，说明理由．

admin2023-03-22 31

问题设z=z(x，y)是由方程z+x²+2y²+z³=1所确定的二元函数．
在约束条件x+2y=1下，该函数是否还有极值?如有，求出极值点；如不存在，说明理由．

选项

答案由已知得x=1-2y，代入方程z+x²+2y²+z³=1有 z+(1-2y)²+2y²+z³=1，两边对y求偏导，得 z’_y+2(1-2y)(-2)+4y+3z²·z’_y=0，令z’_y=0得y₀=1／3，再代入x=1-2y得x₀=1-2y₀=1／3，所求点为(1／3，1／3)．记z₀=z(1／3，1／3)，再由 z”_yy+12+6z·(z’_y)²+3z²·z”_yy=0，得z”_yy｜_{(1／3，1／3)}=[*]＜0，所以此时有极大值z_极大=z(1／3，1／3)．

解析

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考研数学二

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