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  3. 设f(x）在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调递增，证明：f(x)在[0,1]上连续。

设f(x）在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调递增，证明：f(x)在[0,1]上连续。

admin2019-09-23  72
问题 设f(x）在[0,1]上有定义，且exf(x)与e-f(x)在[0,1]上单调递增，证明：f(x)在[0,1]上连续。
选项
答案对任意的x0∈[0,1]，因为ex与e-f(x)在[0,1]上单调增加， 所以当x＜x0时，有[*]故f(x0)≤f(x)≤[*]f(x0) 令[*],由迫敛定理得f(x0-0)=f(x0)； 当x＞x0时，有[*]f(x0)≤f(x)≤f(x0), 令[*],由迫敛定理得f(x0+0)=f(x0),故f(x0-0)=f(x0+0)=f(x0), 即f(x）在x=x0处连续，由x0的任意性得f（x)在[0,1]上连续。
解析
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考研数学二

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