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设函数f(x)连续,证明:∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.
设函数f(x)连续,证明:∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.
admin
2017-10-25
48
问题
设函数f(x)连续,证明:∫
0
a
f(x)dx∫
x
a
(y)dy=
[∫
0
a
f(x)dx]
2
.
选项
答案
如图1-3所示, ∫
0
a
f(x)dx∫
x
a
f(y)dy=∫
0
a
∫
x
a
f(x)f(y)dydx =∫∫
D
1
(x)f(y)dydx(由对称性) =[*]∫
0
a
∫
0
a
f(x)f(y)dydx =[*]∫
0
a
f(x)dx∫
0
a
f(y)dy =[*][∫
0
a
f(x)dx]
2
. [*]
解析
所证等式的右边是定积分,左边是累次积分,而且发现式子左边无论是先对y还是先对x积分,里层的积分均无法积出,因此要另辟蹊径.若把左边看成二重积分:
∫
0
a
∫
x
a
f(x)f(y)dydx,
右边亦视为二重积分:
∫
0
a
∫
0
a
f(x)f(y)dydx,
则显然就能找到它们之间的联系.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Bjr4777K
0
考研数学一
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