设函数f(x)连续，证明：∫0af(x)dx∫xa(y)dy=[∫0af(x)dx]2.

admin2017-10-25 51

问题设函数f(x)连续，证明：∫₀^af(x)dx∫_x^a(y)dy=

[∫₀^af(x)dx]².

选项

答案如图1-3所示， ∫₀^af(x)dx∫_x^af(y)dy=∫₀^a∫_x^af(x)f(y)dydx =∫∫_D₁(x)f(y)dydx(由对称性) =[*]∫₀^a∫₀^af(x)f(y)dydx =[*]∫₀^af(x)dx∫₀^af(y)dy =[*][∫₀^af(x)dx]²． [*]

解析所证等式的右边是定积分，左边是累次积分，而且发现式子左边无论是先对y还是先对x积分，里层的积分均无法积出，因此要另辟蹊径．若把左边看成二重积分：
∫₀^a∫_x^af(x)f(y)dydx，
右边亦视为二重积分：

∫₀^a∫₀^af(x)f(y)dydx，
则显然就能找到它们之间的联系．

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