设函数f(x)在(一a，a)(A＞0)内连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使∫0xf(t)dt+∫0-xf(t)dt=x[f(θx)一f(θx)]；

admin2016-12-09 46

问题设函数f(x)在(一a，a)(A＞0)内连续，在x=0处可导，且f’(0)≠0．
求证：对任意给定的x(0＜x＜a)，存在0＜θ＜1，使∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)一f(θx)]；

选项

答案令F(x)=∫₀^xf(x)dt+∫₀^-xf(t)dt，则F(x)在[0，x]上可微，且F(0)=0，对F(x)在[0，x]上使用拉格朗日中值定理，得到θx(0＜ θ＜1)，使F(x)一F(0)=F’(θx).x，即 ∫₀^xf(t)dt+∫₀^-xf(t)dt=x[f(θx)一f(-θx)． ①

解析

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