（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

admin2017-12-29 40

问题（Ⅰ）比较∫₀¹|lnt|[ln（1+t）ⁿ]dt 与∫₀¹tⁿ|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记u_n=∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt（n=1，2，…），求极限

u_n。

选项

答案（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。当0≤t≤1时，f’（t）=[*]一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0） =0，即当0≤t≤1时， 0≤ln（1+t）≤t≤1，从而 [ln（1+t）]ⁿ≤tⁿ（n=1，2，…）。又由|lnt|≥0得 ∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤∫₀^ttⁿ|lnt|dt（n=1，2，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤u_n=∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ|lnt|dt，因为 ∫₀¹tⁿ|lnt|dt=—∫₀¹tⁿ（lnt）dt [*]

解析

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考研数学三

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（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

考研数学三

求函数的间断点，并判断它们的类型．

计算

讨论函数f(x)的连续性．

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

如图1．3—1，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0．证明：

求微分方程y"+2y’一3y—e-3x的通解．

以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是________．

微分方程y"+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为()

我国“科教兴国，人才强国"战略的提出表明()。

麻醉中药的特点是

治疗梅毒、钩端螺旋体病的首选药物是

儿童注意力缺陷多动障碍，其病在肝者，临床证候是

关于屋面防水，下列说法正确的是(　　)。

我国最古老的乐器之一——()，陶制，平底梨形，有五至十个大小不一的音孔，音色淳厚、古朴。

建立以公有制为基础的现代企业制度是国有企业改革的方向。建立现代企业制度的依据是()。

求f(x)=∫01｜x一t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．

A、ThemanwouldunderstandifhehadPeter’sjob.B、Petercouldhelphimgetajobonanairplane.C、Waitingontablesisanenj

Afishermanandhiswife,wholivedalone,longedforachildoftheirown,buttheirwishwasnotgranted.Oneevening,whenth

（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

考研数学三

求函数的间断点，并判断它们的类型．

计算

讨论函数f(x)的连续性．

设函数f(x)在[a，b]上有连续导数，在(a，b)内二阶可导，且f(A)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；

设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

f(x)在[0，1]上有连续导数，且f(0)=0，证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．

如图1．3—1，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0．证明：

求微分方程y"+2y’一3y—e-3x的通解．

以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是________．

微分方程y"+2y’+2y=e-xsinx的特解形式为()

我国“科教兴国，人才强国"战略的提出表明()。

麻醉中药的特点是

治疗梅毒、钩端螺旋体病的首选药物是

儿童注意力缺陷多动障碍，其病在肝者，临床证候是

关于屋面防水，下列说法正确的是( )。

我国最古老的乐器之一——()，陶制，平底梨形，有五至十个大小不一的音孔，音色淳厚、古朴。

建立以公有制为基础的现代企业制度是国有企业改革的方向。建立现代企业制度的依据是()。

求f(x)=∫01｜x一t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．

A、ThemanwouldunderstandifhehadPeter’sjob.B、Petercouldhelphimgetajobonanairplane.C、Waitingontablesisanenj

Afishermanandhiswife,wholivedalone,longedforachildoftheirown,buttheirwishwasnotgranted.Oneevening,whenth

（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

关于屋面防水，下列说法正确的是(　　)。