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(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)n]dt 与∫01tn|ln t|dt(n=1,2,…)的大小,说明理由。 (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un。
(Ⅰ)比较∫01|lnt|[ln(1+t)n]dt 与∫01tn|ln t|dt(n=1,2,…)的大小,说明理由。 (Ⅱ)记un=∫01|lnt|[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un。
admin
2017-12-29
65
问题
(Ⅰ)比较∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)
n
]dt 与∫
0
1
t
n
|ln t|dt(n=1,2,…)的大小,说明理由。
(Ⅱ)记u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt(n=1,2,…),求极限
u
n
。
选项
答案
(Ⅰ)令f(t)=ln(1+t)—t。 当0≤t≤1时,f’(t)=[*]一1≤0,故当0≤t≤1时,f(t)≤f(0) =0,即当0≤t≤1时, 0≤ln(1+t)≤t≤1,从而 [ln(1+t)]
n
≤t
n
(n=1,2,…)。 又由|lnt|≥0得 ∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
t
t
n
|lnt|dt(n=1,2,…)。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,0≤u
n
=∫
0
1
|lnt|[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
1
t
n
|lnt|dt,因为 ∫
0
1
t
n
|lnt|dt=—∫
0
1
t
n
(lnt)dt [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BmX4777K
0
考研数学三
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