（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

admin2017-12-29 75

问题（Ⅰ）比较∫₀¹|lnt|[ln（1+t）ⁿ]dt 与∫₀¹tⁿ|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记u_n=∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt（n=1，2，…），求极限

u_n。

选项

答案（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。当0≤t≤1时，f’（t）=[*]一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0） =0，即当0≤t≤1时， 0≤ln（1+t）≤t≤1，从而 [ln（1+t）]ⁿ≤tⁿ（n=1，2，…）。又由|lnt|≥0得 ∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤∫₀^ttⁿ|lnt|dt（n=1，2，…）。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤u_n=∫₀¹|lnt|[ln（1+t）]ⁿdt≤∫₀¹tⁿ|lnt|dt，因为 ∫₀¹tⁿ|lnt|dt=—∫₀¹tⁿ（lnt）dt [*]

解析

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考研数学三

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（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

考研数学三

设f(x)=u(x)+υ(x)，g(x)=u(x)一υ(x)，并设都不存在，下列论断正确的是()

以下3个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

如图1．3—1，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0．证明：

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

求下列函数的导数：

设又f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式。

求y′＝的通解，及其在初始条件y｜x＝1＝0下的特解．

[*]由题意可知：

设f(x)＝sin2x＋，则f(x)的周期是________．

肾病综合征在应用激素及免疫抑制剂时，下列哪中情况应禁用或忌用（）

护理法是关于

十枣汤的服药时间应是

A、祛风除湿，散寒止痛B、祛风除湿，解表C、祛风通络，定惊止痉D、舒筋活络，除湿和胃E、祛风湿，通经络，消骨鲠蕲蛇的功效是（）

根据刑事诉讼一般理论，划分刑事诉讼阶段的标准有：()

以下选项中，属于行政法规的是()。

（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

考研数学三

设f(x)=u(x)+υ(x)，g(x)=u(x)一υ(x)，并设都不存在，下列论断正确的是()

以下3个命题：①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为

设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足xf’(x)=f(x)+(a为常数)，又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积为2．求函数y=f(x)，并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．

如图1．3—1，设曲线方程为y=x2+，梯形OABC的面积为D，曲边梯形OABC的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0．证明：

设φ(x)是以2π为周期的连续函数，且Ф(x)=φ(x)，Ф(0)=0．方程是否有以2π为周期的解?若有，请写出所需条件；若没有，请说明理由．

求下列函数的导数：

设又f(x)在点x=0处可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．

问λ为何值时，线性方程组有解，并求出解的一般形式。

求y′＝的通解，及其在初始条件y｜x＝1＝0下的特解．

[*]由题意可知：

设f(x)＝sin2x＋，则f(x)的周期是________．

肾病综合征在应用激素及免疫抑制剂时，下列哪中情况应禁用或忌用（）

护理法是关于

十枣汤的服药时间应是

A、祛风除湿，散寒止痛B、祛风除湿，解表C、祛风通络，定惊止痉D、舒筋活络，除湿和胃E、祛风湿，通经络，消骨鲠蕲蛇的功效是（）

根据刑事诉讼一般理论，划分刑事诉讼阶段的标准有：()

以下选项中，属于行政法规的是()。

（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。