2. 考研
  3. （Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

（Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。 （Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。

admin2017-12-29  111
问题 （Ⅰ）比较∫01|lnt|[ln（1+t）n]dt 与∫01tn|ln t|dt（n=1，2，…）的大小，说明理由。
（Ⅱ）记un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt（n=1，2，…），求极限un。
选项
答案（Ⅰ）令f（t）=ln（1+t）—t。 当0≤t≤1时，f’（t）=[*]一1≤0，故当0≤t≤1时，f（t）≤f（0） =0，即当0≤t≤1时， 0≤ln（1+t）≤t≤1，从而 [ln（1+t）]n≤tn（n=1，2，…）。 又由|lnt|≥0得 ∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫0ttn|lnt|dt（n=1，2，…）。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，0≤un=∫01|lnt|[ln（1+t）]ndt≤∫01tn|lnt|dt，因为 ∫01tn|lnt|dt=—∫01tn（lnt）dt [*]
解析
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考研数学三

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