2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f"(x)＞0,证明：

设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f"(x)＞0,证明：

admin2021-07-15  41
问题 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数，且f"(x)＞0,证明：
选项
答案先证明左边，令ψ(x)=(x－a)f[*]－∫axf(t)dt,有ψ(a)=0 [*] 其中[*]＜ξ＜x,由于f"(x)＞0,所以f’(x)严格单调增加，从而f’[*]＜f’(ξ),于是 ψ’(x)＜0，所以当x＞a时，ψ(x)＜0，有ψ(b)＜0，左边证毕。 再证右边，令ψ(x)=∫axf(t)dt－[*](x－a)[f(a)+f(x)],有ψ(a)=0, ψ’(x)=f(x)－[*][f(a)+f(x)]－[*](x－a)f’(x) =[*][f(x)－f(a)]－[*](x－a)f’(x)=[*](x－a)[f’(η)－f’(x)] 其中a＜η＜x,由于f"(x)＞0，所以f’(η)＜f’(x),从而ψ’(x)＜0，于是当x＞a时，ψ’(x)＜0，故ψ(b)＜0,证明完毕。
解析
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考研数学二

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