设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f"(x)>0,证明:

admin2021-07-15  31

问题 设f(x)在[a,b]上具有二阶导数,且f"(x)>0,证明:

选项

答案先证明左边,令ψ(x)=(x-a)f[*]-∫axf(t)dt,有ψ(a)=0 [*] 其中[*]<ξ<x,由于f"(x)>0,所以f’(x)严格单调增加,从而f’[*]<f’(ξ),于是 ψ’(x)<0,所以当x>a时,ψ(x)<0,有ψ(b)<0,左边证毕。 再证右边,令ψ(x)=∫axf(t)dt-[*](x-a)[f(a)+f(x)],有ψ(a)=0, ψ’(x)=f(x)-[*][f(a)+f(x)]-[*](x-a)f’(x) =[*][f(x)-f(a)]-[*](x-a)f’(x)=[*](x-a)[f’(η)-f’(x)] 其中a<η<x,由于f"(x)>0,所以f’(η)<f’(x),从而ψ’(x)<0,于是当x>a时,ψ’(x)<0,故ψ(b)<0,证明完毕。

解析
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