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设 (I)证明f(x)在x=0处连续; (Ⅱ)求区间(-1,﹢∞)内的f’(x),并由此讨论区间(-1,﹢∞)内f(x)的单调性.
设 (I)证明f(x)在x=0处连续; (Ⅱ)求区间(-1,﹢∞)内的f’(x),并由此讨论区间(-1,﹢∞)内f(x)的单调性.
admin
2019-08-11
94
问题
设
(I)证明f(x)在x=0处连续;
(Ⅱ)求区间(-1,﹢∞)内的f
’
(x),并由此讨论区间(-1,﹢∞)内f(x)的单调性.
选项
答案
(I)由题设当x∈(-1,﹢∞),但x≠0时f(x)=[*],所以 [*] 所以f(x)在x=0处连续. (Ⅱ)[*] 下面求区间(-1,﹢∞)内x≠0处的f
’
(x): [*] 为讨论f
’
(x)的符号,取其分子记为g(x),即令 g(x)=(1﹢x)ln
2
(1﹢x)-x
2
,有g(0)=0. g
’
(x)=21n(1﹢x)﹢ln
2
(1﹢x)-2x,有g
’
(0)=0, 当-1<x<﹢∞,但x≠0时, [*] 由泰勒公式有当-1<x<﹢∞,但x≠0时,g(x)=[*]g
”
(ξ)x
2
<0,ξ介于0与x之间. 所以当-1<x<﹢∞,但x≠0时,f
’
(x)<0.又由f
’
(0)=[*],所以f
’
(x)<0(-1<x<﹢∞), 由定理:设f(x)在区间(a,b)内连续且可导,导数f
’
(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内为严格单调减少.故f(x)在区间(-1,﹢∞)内严格单调减少.
解析
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考研数学二
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