方程x3一3x+A=0，问A取何值时： (1)只有一个实根； (2)有两个不同实根； (3)有三个不同实根．

admin2015-08-28 68

问题方程x³一3x+A=0，问A取何值时：
(1)只有一个实根；
(2)有两个不同实根；
(3)有三个不同实根．

选项

答案设f(x)=x³一3x+A，f’(x)=3x²一3．令f’(x)=0，解得x₁=1，x₂=一1，又f"(x)=6x，由极值点的充分条件知，f"(一1)=一6＜0，f"(1)=6＞0，故f(一1)是极大值，f(1)是极小值．而 f(一1)f(1)=(2+A)(A一2)=A²一4．当A²一4＞0，即|A|＞2时，说明f(1)与f(一1)同号，而[*] 故f(x)只有一个零值点，即方程只有一个实根．如图1—3—12所示． [*] 当A²一4=0，即A=2或A=一2时，f(1)f(一1)=0，说明f(1)=0或f(一1)=0，此时f(x)有两个不同的零值点，方程有两个不同实根，如图1—3—13． [*] 当A²一4＜0，即|A|＜2时，说明f(1)与f(一1)异号，且定有f(一1)＞0，f(1)＜0，此时f(x)有三个零值点，即方程有三个不同实根，如图1—3一14． [*]

解析

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