设a＞b＞0,反常积分∫0+∞dx收敛，则（）。

admin2021-07-15 62

问题设a＞b＞0,反常积分∫₀^+∞

dx收敛，则（）。

选项 A、a＞1且b＞1
B、a＞1且b＜1
C、a＜1且a+b＞1
D、a＜1且b＜1

答案B

解析 I=∫₀¹

dx+∫₁^+∞

dx=I₁+I₂
对于I₁，盯着x→0⁺看，由于a＞b＞0,故x^b趋于0的速度慢于x^a趋于0的速度，x^a+x^b～x^b,于是I₁与∫₀¹

dx同敛散，则b＜1
对于I²，盯着x→+∞看，由于a＞b＞0，故x^a趋于+∞的速度快于x^b趋于+∞的速度，x^a+x^b与x^a为等价无穷大量，于是I₂与∫₀^+∞

dx同敛散，则a＞1.
综上，a＞1且b＜1.

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