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  3. 已知矩阵A=相似，求a，b的值，并求可逆矩阵P使P－1AP=B。

已知矩阵A=相似，求a，b的值，并求可逆矩阵P使P－1AP=B。

admin2019-12-12  9
问题 已知矩阵A=相似，求a，b的值，并求可逆矩阵P使P－1AP=B。
选项
答案两矩阵相似，则tr(A)=tr(B)(矩阵的迹：主对角线元素之和)，|A|=|B|。因为A～B，所以有[*]解得a=7，b=一2。B=[*] |λE—A|=[*]=(λ－5)(λ+1)=0，解得λ=一1或5。 当λ=一1时，(－E－A)=[*]，特征值－1对应的特征性向量为α1=(一2，1)T； 当λ=5时，(5E－A)=[*]，特征值5对应的特征性向量为α2=(1，1)T。 令P1=(α1，α2)=[*]，则P1－1AP1=Λ=[*]。 因为两矩阵相似，所以矩阵B的特征值也为－1和5。进而有， 当λ=一1时，(一E—B)=[*]，特征值－1对应的特征性向量为β1=(－1，1)T； 当λ=5时，(5E－B)=[*]，特征值5对应的特征性向量为β2=(一7，1)T； 令P2=(β1，β2)=[*]，使得P2－1AP2=Λ=[*]。 由P1－1AP1=P2－1BP2[*]P2P1－1AP1P2－1=B， 存在可逆矩阵P=P1P2－1=[*]。使得P－1AP=B。
解析
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