已知A=,求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

admin2017-07-26  30

问题 已知A=,求A的特征值与特征向量,并指出A可以相似对角化的条件.

选项

答案由矩阵A的特征多项式 |λE一A|=[*]=(λ+a一1)(λ—a)(λ—a一1), 得A的特征值是λ1=1一a,λ2=a, λ3=a+1. 由(λ1E—A)x=0,得属于λ1=1一a的特征向量是 α1=(1,0,1)T. 由(λ2E—A)x=0,得属于λ2=a的特征向量是 α2=(1,1一2a,1)T, 由(λ3E一A)x=0,得属于λ3=a+1的特征向量是 α3=(2一a,一4a,a+2)T. 如果λ1,λ2,λ3互不相同,即1一a≠a,1一a≠a+1,a≠a+1, 即a≠[*]且a≠0,则矩阵A有3个不同的特征值.A可以相似对角化. 若a=[*],此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化. 若a=0,即λ13=1,此时A只有一个线性无关的特征向量,故A不能相似对角化.

解析
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