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  3. 已知函数f(x)在区间(1－δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则( )

已知函数f(x)在区间(1－δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则( )

admin2018-04-14  129
问题 已知函数f(x)在区间(1－δ，1+δ)内具有二阶导数，f’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，则(    )
选项 A、在(1－δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＜x。
B、在(1－δ，1)和(1，1+δ)内均有f(x)＞x。
C、在(1－δ，1)内，f(x)＜x，在(1，1+δ)内，f(x)＞x。
D、在(1－δ，1)内，f(x)＞x，在(1，1+δ)内，f(x)＜x。
答案A
解析 方法一：令F(x)=f(x)－x，则
F’(x)=f’(x)－1=f’(x)－f’(1)。
由于f’(x)严格单调减少，因此当x∈(1－δ，1)时，f’(x)＞f’(1)，则
F’(x)=f’(x)－f’(1)＞0；
当x∈(1，1+ε)时，f’(x)＜f’(1)，则
F’(x)=f’(x)－f’(1)＜0，
且在x=1处F’(1)=f’(1)－f’(1)=0，根据判定极值的第一充分条件：设函数f(x)在x0处连续，且在x0的某去心δ邻域内可导，若x∈(x0－δ，x0)时，f’(x)＞0，而x∈(x0，x0+δ)时，f’(x)＜0，则f(x)在x0处取得极大值，知F(x)在x=1处取极大值，即在(1－δ，1)和(1，1+δ)内均有F(x)＜F(1)=0，也即f(x)＜x。故选A。
方法二：排除法，取f(x)=－+x，则
f’(x)=－2(x－1)+1=－2x+3，f"(x)=－2＜0，
所以满足题设在区间(1－δ，1+δ)内具有二阶导数，g’(x)严格单调减少，且f(1)=f’(1)=1，当x＜1时或x＞1时，均有
f(x)=－+x＜x，
因此可以排除B，C，D，选A。
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考研数学二

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