已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,则( )

admin2018-04-14  87

问题 已知函数f(x)在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,f’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,则(    )

选项 A、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)<x。
B、在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有f(x)>x。
C、在(1-δ,1)内,f(x)<x,在(1,1+δ)内,f(x)>x。
D、在(1-δ,1)内,f(x)>x,在(1,1+δ)内,f(x)<x。

答案A

解析 方法一:令F(x)=f(x)-x,则
F’(x)=f’(x)-1=f’(x)-f’(1)。
由于f’(x)严格单调减少,因此当x∈(1-δ,1)时,f’(x)>f’(1),则
F’(x)=f’(x)-f’(1)>0;
当x∈(1,1+ε)时,f’(x)<f’(1),则
F’(x)=f’(x)-f’(1)<0,
且在x=1处F’(1)=f’(1)-f’(1)=0,根据判定极值的第一充分条件:设函数f(x)在x0处连续,且在x0的某去心δ邻域内可导,若x∈(x0-δ,x0)时,f’(x)>0,而x∈(x0,x0+δ)时,f’(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值,知F(x)在x=1处取极大值,即在(1-δ,1)和(1,1+δ)内均有F(x)<F(1)=0,也即f(x)<x。故选A。
方法二:排除法,取f(x)=-+x,则
f’(x)=-2(x-1)+1=-2x+3,f"(x)=-2<0,
所以满足题设在区间(1-δ,1+δ)内具有二阶导数,g’(x)严格单调减少,且f(1)=f’(1)=1,当x<1时或x>1时,均有
f(x)=-+x<x,
因此可以排除B,C,D,选A。
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