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  3. 假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=|X|．(I)求常数c及EX，DX；(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?

假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=|X|．(I)求常数c及EX，DX；(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?

admin2018-11-20  60
问题 假设随机变量X的密度函数f(x)=ce-λ|x|(λ＞0，一∞＜x＜+∞)，Y=|X|．(I)求常数c及EX，DX；(Ⅱ)问X与Y是否相关?为什么?(Ⅲ)问X与Y是否独立?为什么?
选项
答案(I)由于∫-∞+∞f(x)dx=1，所以c∫-∞+∞e-λ|x|dx=2c∫0+∞e-λxdx=[*]=1故[*] 又f(x)是偶函数，且反常积分∫-∞+∞xf(x)dx收敛，所以EX=∫-∞+∞xf(x)=0, DX=EX2=∫-∞+∞x2f(x)dx=[*](应用指数分布某些结果)． (Ⅱ)由于f(x)是偶函数，故EXY=EX|X|=∫-∞+∞x|x|f(x)dx=0，而EX=0，所以EXY=EX.EY，故X与Y不相关． (Ⅲ)下面我们应用事件关系证明X与Y=|X|不独立．因为 {|X|≤1}[*]{X≤1}，又P{|X|≤1}=∫-11f(x)dx≠0，P{X≤1}=∫-∞1f(x)dx≠1，所以{|X|≤1}与{X≤1}不独立(包含关系不独立)，故X与Y=|X|不独立．
解析
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考研数学三

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