设A是n阶矩阵,r(A)<n,则A必有特征值______,且其重数至少是______·

admin2017-12-11  48

问题 设A是n阶矩阵,r(A)<n,则A必有特征值______,且其重数至少是______·

选项

答案λ=0,n—r(A)

解析 r(A)|A|=0 λ=0必是A的特征值.
由r(A)Ax=0有非0解.设η1,η2,…,ηn-r(A)是Ax=0的基础解系,则Aηj=0=0ηj,即ηj(j=1,2,…,n—r(A))是λ=0的特征向量.
因此λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量.从而λ=0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值.
注意:k重特征值至多有k个线性无关的特征向量.
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