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  3. 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值______，且其重数至少是______·

设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值______，且其重数至少是______·

admin2017-12-11  66
问题 设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值______，且其重数至少是______·
选项
答案λ＝0，n—r(A)
解析 r(A)｜A｜＝0 λ＝0必是A的特征值．
由r(A)Ax＝0有非0解．设η1，η2，…，ηn－r(A)是Ax＝0的基础解系，则Aηj＝0＝0ηj，即ηj(j＝1，2，…，n—r(A))是λ＝0的特征向量．
因此λ＝0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ＝0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值．
注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．
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考研数学一

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