设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值，且其重数至少是·

admin2017-12-11 18

问题设A是n阶矩阵，r(A)＜n，则A必有特征值______，且其重数至少是______·

选项

答案λ＝0，n—r(A)

解析 r(A)｜A｜＝0

λ＝0必是A的特征值．
由r(A)Ax＝0有非0解．设η₁，η₂，…，η_n－r(A)是Ax＝0的基础解系，则Aη_j＝0＝0η_j，即η_j(j＝1，2，…，n—r(A))是λ＝0的特征向量．
因此λ＝0有n—r(A)个线性无关的特征向量．从而λ＝0至少是矩阵A的n一r(A)重特征值．
注意：k重特征值至多有k个线性无关的特征向量．

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