(1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*; (2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.

admin2015-07-22  35

问题 (1)若A可逆且A~B,证明:A*~B*
    (2)若A~B,证明:存在可逆矩阵P,使得AP~BP.

选项

答案(1)因为A可逆且A~B所以B可逆,A,B的特征值相同且|A|=|B|. 因为A~B,所以存在可逆矩阵P,使得P-1AP=B, 而A*=|A|A-1,B*=|B|B-1, 于是由P-1AP=B,得(P-1AP)-1=B-1,即P-1A-1P=B-1, 故P-1|A|A-1P=|A|B-1或P-1A*P=B*,于是A*~B*. (2)因为A~B,所以存在可逆阵P,使得P-1AP=B,即AP=PB,于是AP=PBPP-1=P(BP)P-1,故AP~BP.

解析
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