设二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及一个正交矩阵Q.

admin2022-09-22  30

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y122y22,求a的值及一个正交矩阵Q.

选项

答案设二次型f(x1,x2,x3)=xTAx,其中A=[*]. 由于二次型f(x1,x2,x3)经正交变换后,得到的标准形为λ1y122y22,可知r(A)=2. 因此可得|A|=0,即[*]=6-3a=0. 解得a=2. 当a=2时,二次型矩阵A为实对称矩阵,且其特征多项式为 |λE-A|=[*]=λ(λ+3)(λ-6), 解得特征值为λ1,2,3=-3,0,6. 由(-3E-A)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为α1=(1,-1,1)T; 由(0E-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为α2=(1,2,1)T; 由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为α3=(-1,0,1)T. 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的,则将α1,α2,α3单位化可得β1=[*](1,-1,1)T,β2=[*](1,2,1)T,β3=[*](-1,0,1)T. 因此所求正交矩阵Q=(β1,β2,β3)=[*].

解析
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