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设二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及一个正交矩阵Q.
设二次型f(x1,x2,x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及一个正交矩阵Q.
admin
2022-09-22
72
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
-x
2
2
+ax
3
2
+2x
1
x
2
-8x
1
x
3
+2x
2
x
3
在正交变换x=Qy下的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
,求a的值及一个正交矩阵Q.
选项
答案
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
T
Ax,其中A=[*]. 由于二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)经正交变换后,得到的标准形为λ
1
y
1
2
+λ
2
y
2
2
,可知r(A)=2. 因此可得|A|=0,即[*]=6-3a=0. 解得a=2. 当a=2时,二次型矩阵A为实对称矩阵,且其特征多项式为 |λE-A|=[*]=λ(λ+3)(λ-6), 解得特征值为λ
1,2,3
=-3,0,6. 由(-3E-A)x=0,可得A的属于特征值-3的特征向量为α
1
=(1,-1,1)
T
; 由(0E-A)x=0,可得A的属于特征值0的特征向量为α
2
=(1,2,1)
T
; 由(6E-A)x=0,可得A的属于特征值6的特征向量为α
3
=(-1,0,1)
T
. 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的,则将α
1
,α
2
,α
3
单位化可得β
1
=[*](1,-1,1)
T
,β
2
=[*](1,2,1)
T
,β
3
=[*](-1,0,1)
T
. 因此所求正交矩阵Q=(β
1
,β
2
,β
3
)=[*].
解析
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考研数学二
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