2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．

admin2022-09-22  48
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12-x22+ax32+2x1x2-8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及一个正交矩阵Q．
选项
答案设二次型f(x1，x2，x3)=xTAx，其中A=[*]． 由于二次型f(x1，x2，x3)经正交变换后，得到的标准形为λ1y12+λ2y22，可知r(A)=2． 因此可得｜A｜=0，即[*]=6-3a=0． 解得a=2． 当a=2时，二次型矩阵A为实对称矩阵，且其特征多项式为 ｜λE-A｜=[*]=λ(λ+3)(λ-6)， 解得特征值为λ1，2，3=-3，0，6． 由(-3E-A)x=0，可得A的属于特征值-3的特征向量为α1=(1，-1，1)T； 由(0E-A)x=0，可得A的属于特征值0的特征向量为α2=(1，2，1)T； 由(6E-A)x=0，可得A的属于特征值6的特征向量为α3=(-1，0，1)T． 由于实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的，则将α1，α2，α3单位化可得β1=[*](1，-1，1)T，β2=[*](1，2，1)T，β3=[*](-1，0，1)T． 因此所求正交矩阵Q=(β1，β2，β3)=[*]．
解析
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考研数学二

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