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证明:若φ在[0,a]上连续,f二阶可导,且f”(x)≥0,则有 故∫0af(φ(t))dt≥f(∫0aφ(t)dt).
证明:若φ在[0,a]上连续,f二阶可导,且f”(x)≥0,则有 故∫0af(φ(t))dt≥f(∫0aφ(t)dt).
admin
2022-11-23
37
问题
证明:若φ在[0,a]上连续,f二阶可导,且f”(x)≥0,则有
故
∫
0
a
f(φ(t))dt≥f(
∫
0
a
φ(t)dt).
选项
答案
设c=[*]∫
0
a
φ(t)dt,由f”(x)≥0知f(x)为凸函数,因此对任意的x,有 f(x)≥f(c)+f’(c)(x-c), 将x=φ(t)代入,得f(φ(t))≥f(c)+f’(c)[φ(t)-c]. 由于φ在[0,a]连续,f二阶可导,故f[φ(t)]在[a,a]上可积,从而 ∫
0
a
f(φ(t))dt≥af(c)+f’(c)∫
0
a
φ(t)dt-f’(c)·ca=af(c). 故[*]∫
0
a
f(φ(t))dt≥f([*]∫
0
a
φ(t)dt).
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/CJgD777K
0
考研数学三
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