2. 考研
  3. 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k＝6．0×

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k＝6．0×

admin2014-07-22  93
问题 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9 000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k＝6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少?(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时)
选项
答案[详解1] 由题设，飞机的质量m＝9 000kg，着陆时的水平速度v0＝700km／h．从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)． 根据牛顿第二定律，得 [*]， 又 [*]， 由以上两式得 [*]， 积分得[*]，由于v(0)＝v0，x(0)＝0，故得[*]，从而 [*]。 当v(t)→0时，[*]。 所以，飞机滑行的最长距离为1．05km． [详解2] 根据牛顿第二定律，得[*]， 所以[*]。 两端积分得通解[*]代入初始条件[*]解得C＝v0， 故[*]。 飞机滑行的最长距离为 [*]。 或由[*]， 故最长距离为当t→＋∞时，[*]。 [详解3] 根据牛顿第二定律，得[*]， 即[*] 其特征方程为[*]，解之得λ1＝0，[*]， 故[*]， 由[*]， 得[*]。 当t→＋∞时，[*]． 所以，飞机滑行的最长距离为1．05km．
解析 [分析]  本题是标准的牛顿第二定律的应用，列出关系式后再解微分方程即可．   
[评注]  本题求飞机滑行的最长距离，可理解为t→＋∞或v(t)→0的极限值，这种隐含的条件应引起注意．
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考研数学二

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