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两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M,连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R,求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M,连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R,求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
admin
2021-04-16
57
问题
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M,连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF,且圆心M到EF的距离为2R,求两个小圆的半径,使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
选项
答案
首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V
0
的通式,建立坐标系如图(a)所示。 [*] 设圆的半径为a,圆心到转轴的距离为ρ,则圆的方程为x
2
+(y-ρ)
2
=a
2
,故有 [*] 现设上面小圆的半径为r,则下面小圆的半径为R-r,且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R-r,3R-r,如图(b)所示, [*] 于是,所述旋转体的体积为 V=V
大
-V
上
-V
下
=2π
2
(2R)R
2
-2π
2
(3R-r)r
2
-2π
2
。 (2R-r)(R-r)
2
=2π
2
(2r
3
-7Rr
2
+5R
2
r)(0<r<R),令dV/dr=2π
2
(6r
2
-14Rr+5R
2
)=0,可解得r=[*],这是函数V(r)在其定义域(0,R)内的唯一驻点,因为在该点处d
2
V/dr
2
=4π
2
(6r-7R)=[*]<0,所以当r=[*]时,函数V(r)取极大值,从而也是最大值,因此,上、下两个小圆的半径分别为r=[*]与R-r=[*]。
解析
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0
考研数学三
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