2. 考研
  3. 两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。

两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。

admin2021-04-16  82
问题 两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
选项
答案首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V0的通式，建立坐标系如图(a)所示。 [*] 设圆的半径为a，圆心到转轴的距离为ρ，则圆的方程为x2+(y-ρ)2=a2，故有 [*] 现设上面小圆的半径为r，则下面小圆的半径为R-r，且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R-r，3R-r，如图(b)所示， [*] 于是，所述旋转体的体积为 V=V大-V上-V下 =2π2(2R)R2-2π2(3R-r)r2-2π2。 (2R-r)(R-r)2=2π2(2r3-7Rr2+5R2r)(0＜r＜R)，令dV／dr=2π2(6r2-14Rr+5R2)=0，可解得r=[*]，这是函数V(r)在其定义域(0，R)内的唯一驻点，因为在该点处d2V／dr2=4π2(6r-7R)=[*]＜0，所以当r=[*]时，函数V(r)取极大值，从而也是最大值，因此，上、下两个小圆的半径分别为r=[*]与R-r=[*]。
解析
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考研数学三

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