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两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
admin
2021-04-16
36
问题
两个相互外切的圆同时内切于半径为R的圆M，连接三圆心的直线垂直于圆M外的直线EF，且圆心M到EF的距离为2R，求两个小圆的半径，使得这3个圆所围成的平面图形绕EF旋转时所得旋转体体积最大。
选项
答案
首先计算一个圆绕其外一直线旋转所得旋转体体积V
0
的通式，建立坐标系如图(a)所示。 [*] 设圆的半径为a，圆心到转轴的距离为ρ，则圆的方程为x
2
+(y-ρ)
2
=a
2
，故有 [*] 现设上面小圆的半径为r，则下面小圆的半径为R-r，且上、下两个小圆的圆心到转轴的距离分别为3R-r，3R-r，如图(b)所示， [*] 于是，所述旋转体的体积为 V=V
大
-V
上
-V
下
=2π
2
(2R)R
2
-2π
2
(3R-r)r
2
-2π
2
。 (2R-r)(R-r)
2
=2π
2
(2r
3
-7Rr
2
+5R
2
r)(0＜r＜R)，令dV／dr=2π
2
(6r
2
-14Rr+5R
2
)=0，可解得r=[*]，这是函数V(r)在其定义域(0，R)内的唯一驻点，因为在该点处d
2
V／dr
2
=4π
2
(6r-7R)=[*]＜0，所以当r=[*]时，函数V(r)取极大值，从而也是最大值，因此，上、下两个小圆的半径分别为r=[*]与R-r=[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/7px4777K
0
考研数学三
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