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  3. 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性． (1)n(n一1)…21． (2)13…(2n一1)24…(2n)． (3)135…(2n一1)(2n)(2n一2)…42．

求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性． (1)n(n一1)…21． (2)13…(2n一1)24…(2n)． (3)135…(2n一1)(2n)(2n一2)…42．

admin2020-09-29  46
问题 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性．
  (1)n(n一1)…21．  (2)13…(2n一1)24…(2n)．  (3)135…(2n一1)(2n)(2n一2)…42．
选项
答案(1)由第一种计算法有τ(n(n一1)…21)=1+2+…+(n一1)=[*]． 对[*]的奇偶性判断，需按以下情况进行讨论： ①当n=4k时，[*]=2k(4k一1)为偶数． ②当n=4k+1时，[*]=2k(4k+1)为偶数． ③当n=4k+2时，[*](2k+1)(4k+1)为奇数． ④当n=4k+3时，[*]=(2k+1)(4k+3)为奇数． 因此，当n=4k或4k+1时，此排列为偶排列；当n=4k+2或4k+3时，此排列为奇排列(k∈Z+∪{0})． (2)由第二种计算法，排列中前n个数1，3，5，…，(2n一1)之间不构成逆序，后n个数2，4，6，…，(2n)之间也不构成逆序，只有前n个数与后n个数之间才构成逆序，因此τ(135…(2n一1)246…(2n))=0+1+2+…+(n一1)=[*]． 由(1)可知，当n=4k或4k+1时，此排列为偶排列；当n=4k+2或4k+3时，此排列为奇排列(k∈Z+∪{0})． (3)由第二种计算法，τ(135…(2n一1)(2n)(2n一2)…42)=0+1+…+n一1+n一1+…+1+0=n(n一1)．因为对任意n∈Z+，n(n一1)均为偶数，故所给排列为偶排列．
解析
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考研数学一

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